纳什用‘玩具、球拍、钢笔’发表顶刊论文，与德州扑克纳什均衡有关？

撰写了关乎纳什议价（此为讨价还价）问题的一篇论文的小约翰・纳什（John F. Nash Jr. ，出生年份为1928年，逝世年份是2015年），其最为人所知的突破乃是发现纳什均衡，然而，在这一重大发现之前他就有相关作为了。纳什议价问题属于针对合作议价展开的一项研究，该研究致力于求证两人讨价还价问题的唯一解（Nash，1950）。议价问题里的设定能够被简单归纳如下：

两个玩家，一方请求获取部分财物，这财物通常指一些金钱啊。另一方也要求在财物所占额度里索要一部分。要是他俩索取财物的这个总和，比财物的总额要少，那么这两个人都能够称心如意达成所愿。要是这个总和超出了财物本身具有的总额，那这两个人都会啥也得不到。

有这样一种情况，纳什针对它提出了一种解决办法，这种办法是公理化的，本文要介绍的是，纳什刚踏入冯诺依曼和摩根斯坦新发现的博弈论领域时，所首先取得的成果，而这一成果为日后有关纳什均衡的工作，提供了灵感。

1.不变性：在议价前后效用函数随偏好的转变应保持不变。

弱帕累托有效，若一种情况是，存在对于两人而言，皆有能从中获取更多益处收益状况的结果 s，那么在此种情形下，玩家便不会表示同意另外的另一不同种分配 t。

3. 无关选择具备独立性：某情形下，玩家于两个解 s 与 t 里做选择，其中 s 属于首选；此后，一旦一个备选解 r 出现，那么在 r 的偏好未发生变化的条件下，t 依旧不会比 s 更具优势从而被选作解。

4. 对称性：要是玩家们相互之间不存在差异，那么在他们彼此之间达成的协议里应该不存在偏向。

纳什证实，符合上述公理条件的解，也就是(x,y)，恰好能够让下方的表达式F取得最大值，这个表达式F是：(u (x) — u (d)) (v (y) — v (d))。

这里面，u是玩家1的效用函数，v是玩家2的效用函数，d是无法达成协议的结果。这个解涵盖每个玩家取得当前收益，也就是非合作收益，以及合作收益。

背景

在外离开自己位于西弗吉尼亚布鲁菲尔德的家乡三年以后，20 岁的纳什进入了大学，1948 年，那时他身为卡耐基理工学院大三的学生，已然获得了哈佛、普林斯顿、芝加哥以及密歇根大学这四个有着美国顶尖数学项目的录取。虽然纳什首先考虑的是相对而言名气更大、社会地位以及师资力量更为雄厚的哈佛大学，可是由于在颇受赞誉的普特南竞赛里表现较为普通，因而他在哈佛获得的奖学金比在普林斯顿略少；与此同时，纳什在卡耐基的学术导师理查德・达芬（Richard Duffin，1909 – 1996）和约翰・辛格（John L. Synge，1897 – 1995）都极力推荐他选择普林斯顿大学，其中有一位甚至称他为“小高斯”，还觉得普林斯顿是“纯数学（拓扑学、代数学和数论）家的摇篮”，与他极为契合 （纳萨尔，1998）。

普林斯顿这儿，数学系主席所罗门・莱夫谢茨（Solomon Lefschetz，1884 – 1972），也一心想要说服纳什，最后开出了一笔每年1150美金（等同于2021年的13200美金）的肯尼迪奖学金。

我们喜欢把握住有前途的人，趁他们还年轻、思想开放。

—— 莱夫谢茨给纳什的一封信

纳什在其领取诺贝尔奖时所做的自述当中讲了，临近自身家乡布鲁菲尔德同样是挑选普林斯顿大学的缘由之一。因而鉴于各种各样的缘故，纳什于1948年的夏季离开了新泽西，携带着卡耐基导师给予的鼓励以及莱夫谢茨个人饱含热情的欢迎，选定了普林斯顿大学。

那封由达芬写给莱夫谢茨的推荐信之中，仅仅存在着一句用于描述纳什能力的话语，随后它变得极其有名：

他是一个数学天才。

下面展示了达芬和辛格的推荐信：

左边是由曾经在卡耐基理工担任纳什论文导师的达芬所撰写制作的推荐信，这封推荐信被投递寄送到了普林斯顿大学的所罗门・莱夫谢茨教授那里；右边则是当时担任卡耐基理工数学系主任的辛格所写的推荐信（图片来源为：Princeton University Archives），展现的是纳什在普林斯顿大学就读的那段时期（1948 – 1951）。

纳什在20岁时，离开自己的家乡，前往卡耐基去上大学。那个时候，普林斯顿数学系里德信竞技，到处都是聪慧的头脑。系主任是莱夫谢茨，并由拉夫・福克斯（Ralph Fox，1913 – 1973）、诺曼・斯廷罗德（Norman Steenrod，1910 – 1971）带头，在美国率先开展拓扑学研究。埃米尔・阿廷（Emil Artin，1898 – 1962）主要研究代数。而莱夫谢茨的学生塔克（Albert W. Tucker，1905 – 1995）主攻博弈论，这个学科是在1944年冯・诺依曼（John von Neumann，1903 – 1957）和经济学家摩根斯特恩（Oskar Morgenstern，1902 – 1977）出版《博弈论与经济行为》一书之后，才刚刚开始兴起的。

位于名为 Fine Hall（直译为“好楼”）大楼里的普林斯顿大学数学系，是 40 到 50 年代数学领域传奇的代名词，像纳萨尔（Sylvia Nasar）在 1998 年所描述的那般。

按一位欧洲裔的说法，我觉得Fine Hall是供数学研究用的最奢华的建筑，是个能去度假的数学乡村俱乐部。

它的基石是由维布伦（Oswald Veblen）所设计的，里面装着普林斯顿数学家们工作的副本，以及业内一些常用工具的铅盒，铅盒里有两只铅笔，还有一段粉笔，当然啦，还有一块橡皮。

“它所代表的，乃是数学家们那‘赖着不走’的仿若圣所一般之地，由暗色石头包围而构成的走廊，这般走廊既适宜于独自去散步运用，又适宜于展开特定的那‘数学社交’。而专门为高级教授所准备的九个书房，请注意并非是办公室那种性质，这些书房内部有着雕刻而成的石板，还有巧妙设计成那种隐藏样式的橱柜，另外配备有黑板，铺设着东方风格的地毯，以及存在着厚重的软垫家具。”。

对于每个有着电话配备的办公室而言，盥洗室里配备有的是阅读灯；在整个全天开放的三楼，库存甚为丰富的图书馆，有着世界上最为丰富多样的数学期刊与书籍；鉴于其设有带有淋浴的更衣室，所以那些爱好网球的数学家们，在返回办公室之前，就无需再专门回家一趟，毕竟附近是有个网球场的。

—— 纳萨尔《美丽心灵》（1998）

纳什那时是一个属于由塔克带领的、推动博弈论早期发展的学派的成员，他们从纯粹数学的角度出发，基本上丝毫不关注研究内容在现实世界里面的应用。按照经济学家、纳什的好友、摩根斯特恩的学生舒比克（Martin Shubik，1926 – 2018）所说：

那时，数学系的学生以及职工，都沉醉于研究博弈论的那种幸福里，压根没察觉到经济学系对此的态度，当然啦，就算他们知晓了，也不会去在意。在普林斯顿没待多长时间，经济学系跟数学系之间截然不同的态度，就扎根在我心里了。经济学系存在着一种培育常规博士工厂、一切按老样子进行的保守主义氛围，当中虽有明星，可毫无激情与挑战可言；而后者呢，则被灵感以及狩猎的那种纯粹乐趣给照亮了。从心理学方面来讲，他们仿佛来自不一样的星球。要是在下午茶时段，有个十岁的流浪小孩，光着脚，身着破烂牛仔裤，带着个极为有趣的理论走进 Fine Hall，那必然会有人去听；可当冯・诺伊曼开展有关增长模型的研讨会时，除了少数几个特殊情况，普林斯顿那群数量众多的经济学家肯定会无聊得只知道打哈欠。

——其中给出此项描述的为舒比克（具体可参考Düppe以及Weintraub所著的《Finding Equilibrium*》，该书于2014年出版，其第94页有相关内容）。

塔克作为学派领导人，持续指导着普林斯顿往后会成为顶级的博弈论学家，其中有大卫・戈尔，他出生于1921年，逝世于2008年，还包括2012年诺贝尔奖获得者罗伊德・沙普利，其生于1923年，卒于2016年，当然，纳什也在被指导的行列之中。

议价问题（1949）

在纳什针对博弈论这范畴，发表其第一篇期刊论文，也就是同样聚焦于博弈论，且把经典经济学问题当作议价过程这一情况之前，就已经有不少学者，像Cournot、Bowley、Fellner等人，从涵盖双边垄断调查等不一样的角度，针对这个问题开展过研究了。

左边呈现的是处于学生时代阶段的纳什，右边展示的是名为纳什在1950年所撰写的一篇论文，其题目为《议价问题》，该论文发表于《计量经济学》期刊，具体为第18卷第2期，页码范围是155页至162页。

纳什所撰写的文章，描绘了这般的一种议价情形，两个人均存在着能够实现互惠互利的契机，然而，没有任何一方能够在未获取许可的状况下，单方面对另一方谋取利益的行为产生影响，这类似于经典的“划分选择协议”，在这种情况中，两个人要公平地去分配一个蛋糕，那么，其中的一个人负责切蛋糕，另一个人则具备优先抉择自己想要哪一份蛋糕的权利，这便是无嫉妒蛋糕分配机制。

对纳什的论文而言，其是基于这样的议价情形来展开理论剖析的，与此同时还在特定状况或者其他所谓“理想化状况之下”给出了确定的“答案”，也就是确定能满足个体期望的获益。像这样的理想化状况涵盖了：若假定两个个体属于理性的，且能够对于各类物品有着精准的偏好认知，具备相同的议价能力，以及对彼此的偏好信息做到完全知悉。

采用了从冯・诺伊曼和摩根斯特恩的书中发展出的效用概念的纳什的解法，也使用了期望的概念来定义不同玩家在给定策略下认可的收益。在纳什的文章中，他假设存在一个名为小明的人，此人知道自己第二天会获得一百块钱，那么能够说他有“一百块的期望”；与之类似，他同样可以有“两百块的期望”。要是他知道，次日会借助抛一枚公平的硬币来决定他获得一百还是两百，那么能够说他有“50% 一百和 50% 两百”的期望。

当下这种情形里的单个个体效用理论，纳什给出了充足假设，区分了他于1944年发表论文《博弈论与经济行为》里所提情形。他觉得，论文没分别估算每个人参与博弈所具价值，除非此博弈是零和的（双方收益相加为零）。所以针对双人的非零和博弈，纳什推导了参与玩家的预期值。

如果存在两位玩家，他们各自对于未来情形有着准确期望，并且单人期望值能够构成双人期望中的某种组合，那么可以依据此来用单人效用函数去求双人效用函数的期望值。首先单人期望值被定义为两个单人期望值的某种组合，这样一来，只要有两位玩家，其各自精准期望未来情形，且单人期望值作为构成双人期望的元素，那么就能够运用单人的效用函数以及其各自身上的概率去求双人的期望值：

若，它表示着一种双人期望，并且0小于等于p小于等于1，那么p加上1减去p的结果等于。

pA + (1-p) C, pB + (1-p) D

纳什把两个个体的效用函数定义成了 和 ，还将c (S) 界定为处在包含原点的紧凸集合 S内的解点。最开始的时候，他给出了一些必需的假设，以此确保 最大之际的解位于第一象限：使得解存在的是集合的紧性，而保证解唯一的是凸性。

在纳什的那篇名为《议价问题》的论文里的图1，示意了玩家1的效用集合S里的唯一最优点，还示意了玩家2的效用集合S里的唯一最优点。这是议价问题实例（纳什，1950）。

假定小明以及小红这两位颇具聪慧的人，他们手中仅仅存有能够用以交换的货物，却不存在用于找零的金钱。为了将情况予以简化，再做出假设，即一个人获取所有物品所拥有的效用乃是这部分里各个货品针对他而言的效用之总和。下面所罗列的表格呈现出了每个物品的所属权属以及针对每个人的效用，两位个人的效用函数单位是随意设定的。

小明拥有的货品：

小明的货品小明的效用小红的效用

鞭子

球拍

盒子

小红拥有的货品：

小红的货品小明的效用小红的效用

钢笔

10

玩具

小刀

帽子

这个关于议价问题所呈现出来的图像，是属于一个凸多边形的，在这个凸多边形里，存在着一个点，使得效用乘积能够达到最大，而这个点处于一个顶点之上，它对应着的是唯一一个预期，其中。

小明给小红：书、鞭子、小球和球拍；

小红给小明：钢笔、玩具和小刀。

纳什在论文中对此议价问题进行的作图

实例：解点位于第一象限、矩形双曲线与可选集合的唯一切点上。

此刻，我们尚不明确纳什得出这般结果的具体过程，他关系亲密的好友，身为2002年出版的纳什传记《 The Essential John Nash 》作者之一的库恩（Harold Kuhn，1925 – 2014），在回忆这篇论文之际说道：

我记得，在纳什毕业后的第一年，这篇文章被送到了冯・诺伊曼手中，那时纳什还提醒了冯・诺伊曼这篇文章的存在。这样来看，这篇文章应当是，纳什在卡耐基理工时所上的，唯一一门经济学选修课的课程论文。

但他补充道：

关于纳什的记忆，和我的情形不一样，有变化，在1995年，有一次，他和罗杰・梅耶森一起吃午餐，期间，他讲了这样一件事，他是在到了普林斯顿以后，才完成了这篇论文的写作。不管这篇文章实际的历史状况究竟怎样，其中所做的举例，有着这样的暗示，写作此文的是个年轻人士，原因在于，物品涵盖球拍、球这样的值当东西，或者钢笔小刀之类的物件。能够确定的一点是，那时纳什从来都没有阅读过，论文引文部分提及到的古诺、鲍利、廷特纳以及费尔纳的工作成果。

—— 库恩

纳什在20岁之际抵达了普林斯顿大学，最终于1950年之时在知名期刊《计量经济学》上刊发了自身的论文《议价问题》。

Nash于1950年发表论文《The Bargaining Problem》，该论文发表在 《Econometrica》 这一期刊上，1950年该期刊的卷号是18，期号是2，发表的页码范围是155页至162页。

与冯・诺依曼的交流

即便纳什的推论于一定程度上同冯・诺伊曼和摩根斯特恩有关合作博弈论的工作相悖，然而他为非合作博弈理论所奠定的基础明显源自前人工作。并且因受到这般启发，纳什发觉了纳什均衡，从而能够在1978年荣获约翰・冯・诺伊曼理论奖。

现今留存的文档里仅寻觅到一份记述纳什跟冯・诺伊曼之间交流沟通的文档，能够确定的是其余大部分都已然随着岁月流逝而遗失不见了。依据纳萨尔的回忆，纳什于1949年普林斯顿统考过后没几天便同冯・诺伊曼展开了交谈，这是在他发觉纳什均衡之前发生的事情。

彼时，他满脸骄傲地告知秘书，他打算与冯・诺伊曼教授探讨一个能够激发他探究兴致的念头。而这，对于一名研究生来讲，可是极为胆大大胆之举。

这无疑好似纳什会干出的事儿，毕竟就在前一年，他怀揣着一个念头去拜见了爱因斯坦，他听得极为专注，手指轻轻敲击着，时不时还会偏一下头，纳什着手叙述脑海里对于超过两位玩家博弈的均衡的论证。

冯・诺伊曼打断那个人，在他讲出进一步乱七八糟的内容前去打断，可以这么说，是突然针对纳什不曾予以定论的阐述，讲了这样一番话：“这没什么值得玩味之处，仅仅就是个不动点理论而已。”。

—— 纳萨尔《美丽心灵》 (1998)

眼见着冯・诺伊曼于纳什所探讨的非合作博弈论当中没瞧出价值，然而纳什跟着就在给历史学家罗伯特・莱纳德的信件里为这位伟人的反应作防御，他剖析道。

当时，我正处于与冯・诺伊曼开展一场非合作博弈的状况之中，并非仅仅是谋求加入他的联盟，明显地从心理学的角度来讲，他不会对一种处于竞争态势的理论全然感到满意。

即便这样，冯・诺伊曼以及摩根斯特恩最后都给了纳什有意义的引导，在纳什公布的论文里，对着两人都做了感谢：

该作者，期望去感谢冯・诺伊曼教授，以及摩根斯特恩教授所给予的帮助，这两位教授，在阅读完那篇论文的初稿之后，均提供了极为有帮助意义的建议。