他用“玩具、球拍、笔”发表了一流论文——纳什

姓名为小约翰・纳什的这个人，其英文名是John F. Nash Jr. ，出生于1928年，逝世于2015年，他最为知名的突破成就是发觉纳什均衡，然而在这一成就达成之前，他还针对另外一个问题，也就是纳什议价问题，去撰写了一篇论文，纳什议价问题是一项关于合作议价的研究，目的是求证两人讨价还价问题的唯一解（作者是Nash，时间为1950年）。议价问题里的设定能够简单归纳如下：

两位玩家分别提出要获取一些财物里的一部分，通常是一些金钱。要是两人索要的总数比财物的全部数额少，那么他俩都能够达成心愿；要是总数超过了财物的全部数额，那么两人就什么都得不到。

后面这种情况，纳什提出了一个公理化的解决方法，本文要介绍的是，纳什刚踏入冯诺依曼和摩根斯坦新发现的博弈论领域时最先取得的成果，此成果为日后有关纳什均衡的工作带来了灵感 。

1.不变性：在议价前后效用函数随偏好的转变应保持不变。

对于弱帕累托有效而言，存在这样一种情况，要是有结果 s，在该结果中两人具备都获取到更多益处的可能性，就此而言，玩家是没法去同意另外一种分配 t 的。

首先，讲到无关选择的独立性，存在这样一种情况，要是玩家在两个解 s 和 t 中作出选择，而且是 s 作为那首选；进而，一旦有一个备选解 r 出现了，那么，除了 r 的偏好发生变化这种情况之外，t 仍然不会如同超过被选择成首选解那样超过 s，被选择成为解。

第一，存在对称性，第二，若玩家间不存在区别之分，第三，那么他们彼此之间达成的协议不应存在偏袒之状。 。

纳什证实，符合上述公理条件的解 (x,y) 恰好能够让下面这个表达式 F 获取最大值：(u (x) — u (d)) (v (y) — v (d)) ，句号这里补上。

在此当中，u乃是玩家1的效用函数，v是玩家2的效用函数，d为无法达成协议的结果 。这个解当中，存在每个玩家获取当前收益，也就是非合作收益，以及合作收益的情况 。

背景

三年之久，离开了那名叫布鲁菲尔德、地处西弗吉尼亚的家乡后，20岁的纳什踏入了校园。1948年，彼时身为在卡耐基理工学院就读大三的学生，他已然获取了哈佛、普林斯顿、芝加哥以及密歇根大学这四所有着号称美国顶尖数学研究项目的学校的录取通知。尽管纳什的第一选择乃是相对而言名气更大、社会地位以及师资力量更为雄厚的哈佛大学，但鉴于在备受众人推崇的普特南竞赛里表现较为平凡，所以他在哈佛所获得的奖学金稍微低于在普林斯顿大学的；与此同时，纳什在卡耐基的学术导师理查德・达芬，即 Richard Duffin，1909 – 1996，以及约翰・辛格，1897 – 1995，这两人都极力举荐他去选择普林斯顿大学，其中有一位甚至把他称作“小高斯”，还觉得普林斯顿是“纯数学家，也就是拓扑学家、代数学家以及数论学家的摇篮”，与他极为契合 （纳萨尔，1998） 。

在普林斯顿此处，数学系主席是所罗门・莱夫谢茨（ Solomon Lefschetz，1884 – 1972 ），他也迫切希望能说服纳什，进而最终给出了每年 1 150 的肯尼迪奖学金，这数额相当于 2021 年的 13 200 美金 ，！

我们喜欢把握住有前途的人，趁他们还年轻、思想开放。

—— 莱夫谢茨给纳什的一封信

获得诺贝尔奖，相关自述里纳什提到，靠近家乡布鲁菲尔德也属是选择普林斯顿大学的因素之一。于是呢，因种种缘由，1948年夏天纳什远离新泽西，借助有着提供鼓励表现为特性状态的卡耐基导师的助力，还有莱夫谢茨有着强烈欢迎性质表达状况之下，选择了普林斯顿大学。

给莱夫谢茨的推荐信出自达芬之手，当中有着关于纳什能力的描述，仅有一句话，后来它变得极其有名，：

他是一个数学天才。

下面展示了达芬和辛格的推荐信：

左面，是纳什在卡耐基理工时的论文导师达芬所写的推荐信，这封推荐信被寄到了普林斯顿大学的所罗门・莱夫谢茨教授那里；右面，是担任卡耐基理工数学系主任的辛格所写的推荐信（图片来源：Princeton University Archives ），这是纳什在普林斯顿大学就读的时期（1948 – 1951）。

纳什在20岁的时候，离开自己的家乡，前去卡耐基上大学，那时，普林斯顿数学系里到处都是聪慧的头脑，系主任是莱夫谢茨，拉夫・福克斯也在该校，他出生于1913年，逝世于1973年，诺曼・斯廷罗德同样在该校，他出生于1910年，逝世于1971年，他们带头在美国率先开展拓扑学研究；埃米尔・阿廷侧重于代数研究；莱夫谢茨的学生塔克，也就是阿尔伯特・W・塔克，他出生于1905年，逝世于1995年，主要研究博弈论，而这个学科在1944年刚兴起，当时冯・诺依曼出版了《博弈论与经济行为》一书，他出生于1903年，逝世于1957年，摩根斯特恩是经济学家，他出生于1902年，逝世于1977年 。

普林斯顿大学里头，数学系所在的那座大楼称为 Fine Hall（直译为“好楼”），它是 40 到 50 年代数学圈内可谓传奇的代名词，就像纳萨尔（Sylvia Nasar）在 1998 年月日这样描述的： 句号。

（就像一位欧洲裔人士讲的那样），我认为 Fine Hall 是那种用于数学研究的最为奢华的建筑，它是一处能够前往度假的数学乡村俱乐部 。

它的基石是由维布伦（Oswald Veblen）进行设计的，里面装着普林斯顿数学家们所工作的副本，以及业内一些常用工具的铅盒，其中有两只铅笔，有一段粉笔，当然，还有一块橡皮。

它象征着数学家们“不想离去”的神圣所在，由深色石头环绕形成的走廊，它既适宜个人漫步前行，又适合开展“数学交流互动”。为资深教授预备的九个书房，留意一下不是办公场所，那里有雕琢的石板、暗藏橱柜、黑板、东方风格地毯以及厚实的带软垫家具。

每个办公室都配备着电话，盥洗室都配备着阅读灯，三楼贮存丰富的图书馆整日开放，有着世界上最为丰富的数学期刊以及书籍，喜好网球的数学家们在返回办公室之前无需再返回家中一趟，虽附近设有一个网球场，然而原因是它设有带有淋浴的更衣室 。

—— 纳萨尔《美丽心灵》（1998）

纳什那时是推进初步阶段博弈论进步的、由塔克带领的学派里的一员，他们从纯粹数学层面着手，基本上不在意研究内容于现实社会里的运用。按照经济学家、纳什的好友、摩根斯特恩的弟子舒比克（Martin Shubik，1926 – 20/18）讲的：

那时，数学系的学生们，还有职工们，都处于沉浸于研究博弈论所带来的幸福里，压根儿没察觉到经济学系对于此的态度，当然啦，就算他们知晓了，也不会去关心。在普林斯顿没待多长时间，经济学系跟数学系之间那种鲜明不一样的态度，就在我的心里扎下根了。经济学系存在着一种培养常规博士进而维系一切照旧的保守主义氛围，这里面有不少明星，然而却丝毫没有激情以及挑战的意味；而数学系呢，则被灵感以及狩猎的那种纯粹乐趣给照亮了。从心理学的角度来讲，他们仿佛是来自不同的星球。一个十岁大光着脚穿着破烂牛仔裤的流浪小孩，若在下午茶时间带着非常有趣的理论走进Fine Hall，那想必会有人去聆听；然而当冯・诺伊曼开展有关增长模型的研讨会时，除少数几个特殊情况外，普林斯顿众多经济学家定会无聊得只知道打哈欠。

—— 舒比克（源于 Düppe 以及 Weintraub 编著的，以《 Finding Equilibrium* 》为名的著作，出版于 2014 年，其中第 94页所呈现的内容为参考） 。

学派的领导人是塔克，他持续指导普林斯顿往后的顶级博弈论学家，包含大卫・戈尔（David Gale，1921 – 2008），含括2012年诺贝尔奖获得者罗伊德・沙普利（Lloyd Shapley，1923 – 2016），当然，除此之外还有纳什 。

议价问题（1949）

待研究纳什均衡之前，纳什刊发了其头一篇期刊论文，此论文同样围绕博弈论，把经典经济学问题视作议价流程，在此之前已有好些学者，像Cournot、Bowley、Fellner等人，借由涵盖双边垄断调查等各异角度，针对此问题展开过探究。

左边呈现的是处于学生时期阶段的纳什，右边展示的则不是别的，正是在1950年时发表了名为《议价问题》（The Bargaining Problem. Econometrica 18 (2), pp. 155 – 162. ）的论文的纳什 。

在纳什所写的文章里，详细描述了这样一种议价状态，即两个人都存在着能促使彼此互惠互利的可能，不过呢，当中没有任何一方能够，在没有经过对方允许这一前提条件下，单方面对另一方获取利益的行为产生影响。这看起来类似于经典的，那种被称作“划分选择协议”的状况，也就是在两个人需要把一个蛋糕进行公平分配这类情形下，其中一个人负责去切这个蛋糕，而另一个人则拥有优先决定自己想要哪一块蛋糕的权利，这种方式就是所谓的无嫉妒蛋糕分配机制。

对纳什的论文而言，是基于这样的议价情形来做理论剖析的，与此同时，在特定状况或者其他被称作“理想化条件”的情形下，给出确定的“解”，也就是能确定满足个体期望的收益。这样的理想化条件涵盖这些，例如假设两个个体是理性的况且能够对各类物品有着精准的偏好感知，具备相同的议价能力，并且完全知晓对方的偏好信息 。

纳什所采用的解法，运用了从冯・诺伊曼以及摩根斯特恩的书中衍生出来的效用这一概念，同时还运用了期望的概念去界定不同玩家在给定策略下所认可的收益。在纳什的那篇文章里头，他假定存在一个人，这个人叫小明，小明知晓自己第二天将会获得一百块钱，如此一来，便能够讲他拥有“一百块的期望”；与之相类似的情形，他同样可以拥有“两百块的期望”。要是他清楚，次日会借助抛一枚公平的硬币这种方式来决定他获得的是一百还是两百，那么就能够讲他拥有“50% 一百和 50% 两百”的期望。

在这种情形下，针对单个个体效用理论，是纳什提供了充足假设的 ，还划分在了他 1944 年发表的那般论文情况之中 ，那篇论文题为《博弈论与经济行为》 。他看法觉得 ，论文并没有分别去估算每个人实际参与博弈的价值 ，前提条件是这个博弈并非零和的 ，也就是条件是双方收益相加不为零才算 。所以就双人的非零和那个博弈情形来说 ，纳什推导了参与其中玩家的预期值 ：

首先，定义一种双人期望值，它为两个单人期望值的某种组合。若存在两位玩家，他们各自对未来情形有着准确期望，同时单人期望值能够构成，双人期望，那么单人效用函数可用于求双人效用函数的期望值。如此一来，若有两位玩家，他们各自对未来情形持有准确期望，并且单人，期望值是构成双人期望的元素，则我们可使用单人的效用函数，及其各自的概率来求双人的期望值。

要是 意味着一个双人期望 ，并且 0小于等于p小于等于1 ，那么 p加上 1减去p等于。

pA + (1-p) C, pB + (1-p) D

纳什把两个个体的效用函数定义成了 和 ，还把 c (S) 定义作包含原点的紧凸集合 S 内的解点。他先是提出了一些必要的假设，以此保证 最大时的那个解落在第一象限，集合紧性确保解存在，凸性确保解唯一 。

图1源自纳什所著的论文《议价问题》，它示意出了玩家1跟玩家2在效用集合S里那唯有的最优点，这是议价问题实例（纳什，1950） 。

假设，小明和小红，这两个人非常聪明，他们手上仅拿着能够实现交换的货物，却没有钱款作找零用。为使问题简便些，同时假设，一个人获取全部物品的时候，其所产生的效用是这其中各个货品针对他而言的效用相加之和。在下述的表格里，列出了每一个物品的所属权情况，以及针对每个人所产生的效用值，这两个个人的效用函数单位是随意设定的。

小明拥有的货品：

小明的货品小明的效用小红的效用

鞭子

球拍

盒子

小红拥有的货品：

小红的货品小明的效用小红的效用

钢笔

10

玩具

小刀

帽子

有关议价问的题图像，它是一个凸多边形，在此多边形里，效用乘积最大的那个点，是在某个顶点之上，该顶点对应着唯一的一个预期，并且，在这种情况下，。

小明给小红：书、鞭子、小球和球拍；

小红给小明：钢笔、玩具和小刀。

纳什在论文中对此议价问题进行的作图

实例：解点位于第一象限、矩形双曲线与可选集合的唯一切点上。

当下，眼下的情况乃是，我们尚还并不清晰知晓，纳什得出这般结果的这一个过程是以怎样一种方式进行的，他关系要好的友人中，有一位名叫库恩即 Harold Kuhn（1925 至 2014），此人作为在 2002 年出版的纳什传记《 The Essential John Nash 》的作者之一，在回忆这一篇具有一定指向论述特征的论文之际表达了相关看法，其表述为：

在纳什毕业后的第一年，我记得，（这篇文章）被送到了冯・诺伊曼手中，当时纳什还提醒了冯・诺伊曼（这篇文章的）存在。这样来看，这篇文章应当是，当初纳什还在卡耐基理工时，上的唯一一门经济学选修课的课程论文。

但他补充道：

和我相比，纳什的记忆存在出入，在1995年某一回，他与罗杰·梅耶森共进午餐时讲，他是抵达普林斯顿之后，才撰写了本篇论文。不管这篇文章实际的历史怎样，当中的举例意味着写作之人是个年轻人，原因在于物品涵盖球拍、球，或者钢笔小刀这类东西。能够确定的是，那时纳什从未读过论文引文部分所提及的古诺、鲍利、廷特纳以及费尔纳的工作。

—— 库恩

20岁的纳什去到了普林斯顿大学，终于，到了1950年，他在著名期刊《计量经济学》上发表了自己的论文《议价问题》。

纳什，于1950年推出《讨价还价问题》，于《计量经济学》第18卷第2期，页码范围为155至162页 ，发表了此内容 。

与冯・诺依曼的交流

即使纳什的推论在一定程度上与冯・诺伊曼和摩根斯特恩对合作博弈论的工作呈现相反态势，然而纳什给非合作博弈理论搭建的基础实实在在发源于前人的工作。并且由于受到了这般启发，纳什找到了纳什均衡，进而得以在 1978 年荣获约翰・冯・诺伊曼理论奖。

现存文件里仅找到一份，其中记有纳什和冯・诺伊曼之间的交流，据此能肯定，其余多数已随时间丢失了。据纳萨尔回忆，纳什在1949年普林斯顿统考没过几天，就和冯・诺伊曼进行了谈话，那是在他发现纳什均衡之前 。

在那时，他带着骄傲的神情，对秘书讲了一番话语德信竞技，言明他打算去和冯・诺伊曼教授探讨一个能够激发起他兴趣的想法。这种行为，对于身为一名研究生的他而言，是一件相当大胆的事情。

这无疑好似纳什会去做的事儿，毕竟就在前一年，他怀揣着一个念头去拜见了爱因斯坦，他听得极为认真，轻轻敲打着手指，不时还偏一下头，纳什着手阐述脑海里对于多位玩家博弈均衡的证明 。

冯・诺伊曼打断了他，在他说出更多杂乱句子之前，突然针对纳什未下定论的阐述说道，“这没什么意思的，仅仅只是个不动点理论罢了。”。

—— 纳萨尔《美丽心灵》 (1998)

看上去，冯・诺伊曼没在纳什谈论的非合作博弈论概念里瞧出价值，然而纳什紧接着就在给历史学家罗伯特・莱纳德的信件中替这位伟大人物的反应作辩护，他剖析道：

当时，我正处于与冯・诺伊曼开展一场并非合作博弈的状态，并非仅仅是欲求加入他的联盟，显然，从心理学层面而言，他不会对一个处于竞争态势的理论达到全然满意的程度。

即便这样，冯・诺伊曼和摩根斯特恩最后都给了纳什有意义的引导，那篇纳什发表的论文里，对两人都作了感谢：

作者怀有想要感谢冯·诺伊曼教授的心意，同时感谢摩根斯特恩教授有过协助，这些协助状况指的是此二人在读完论文初稿之后都给出了极具助益的建议。