几个例子助你理解博弈论与纳什均衡，含德州扑克示例

对德州扑克感兴趣且热衷于参与其中的那群人，想必都听闻过“GTO”这个词汇。GTO，也就是GameTheory Optimal，若翻译成汉语的话应当称作“游戏理论最优化”。直接进行翻译会稍显不太顺口，更为通俗易懂的一种解释是：于游戏期间，你能够施行一种最优的策略，以此让自身的损失达到最小化，与此同时，游戏里的对手也务必采取与之相对应的策略，不然的话只会使你的受益得以扩大。

提及GTO，那就必定得说到博弈论里相当有名气的一个理论：名为纳什均衡（Nash Equilibrium）的理论。这个理论是由身为著名经济学家、博弈论创立者、诺贝尔奖获得者的约翰·纳什所提出来的，而约翰·纳什也就是电影《美丽心灵》男主角的那个原型。这个理论所讲的是：在非合作类博弈之中，存在着一种策略组合，这种策略组合能让每个参与人的策略成为对其他参与人策略是最优反应的策略。要是参与者当下所挑选的策略构成了“纳什均衡”，那么对于任意一位参与者来讲，单方改动自身的策略不会带来丝毫益处。

在每个参与者都仅有有限种策略可供选择，且其前提是还允许混合策略的情形下，约翰·纳什证实了纳什均衡必定是存在的。上边所给出的这类解释仍然是较生涩难懂有些拗口的呀，此处是依托几个实际例子，从而能够以更直观的方式去领会一下这个理论呢。

囚犯的困境

假如存在两个小偷那即是A与B，他们联手闯进民宅实施盗窃行为后被抓捕了，警方把两人放置在不同的房间当中来进行审讯，接着给出了如下这样的政策：要是有一个犯罪嫌疑人承认并交出所偷的赃物，那么两人都会被判定有罪假如另一个犯罪嫌疑人也承认，那么两人各自会被判处8年刑罚，假如另一个犯罪嫌人去抵赖，那么就要再加刑2年，同时坦白者有功劳了，会得到立即释放的处置，要是两人都选择抵赖，偷窃所需要的罪证不够充足但会因为私自进入民众的住房而各自被判处入狱1年。即：

所提及的表里头的数字，呈现出A的判刑结果，呈现出B的判刑结果。在博弈论的分析当中，一般情况下，都是运用这样的表予以展现的。

彼时有人会觉得双方都拒不承认那就好了，然而问题在于双方处于被隔离状态，都会心存疑虑怀疑对方会为求自身平安无事而出卖自己。两个人都会如此思索：假设对方供认不讳，这时要是我拒不承认就得蹲10年监狱，要是我供认才能坐8年监狱；假设对方拒不承认，这时要是我也拒不承认会被判处1年，要是我供认能够被放走。综合考量所有这些，不论对方是否供认，对我来讲都是供认更为有利。这时最后的“纳什均衡”只能是两个人都供认，一同被判处8年刑期。

智猪博弈

有两头猪在猪圈里，其中一头是大猪，另一头是小猪，猪圈一侧设有踏板，只要踩一下踏板，在远离踏板的猪圈另一侧投食口就会落下少量食物，要是有一只猪去踩踏板，那么另一只猪就有机会抢先吃到另一侧落下的食物呢，然而当小猪踩踏板时，大猪会在小猪跑到食槽之前把所有食物吃光光，若是大猪踩动了踏板，就有机会在小猪吃完落下的食物之前跑到食槽，从而争吃到另一半食物。

那么，两只猪各自会采取怎样的策略呢？那便是，小猪等在食槽旁边，而大猪不知疲倦地在踏板与食槽之间来回奔忙，且由于，小猪踩踏板将会一无所获，不踩踏板反倒能够吃上食物德信竞技，对于小猪来讲，无论大猪是否踩动踏板，不踩踏板始终是好的选择，反观大猪，已然明知小猪不会去踩动踏板，自己亲自去踩踏板还能有点吃的，总归比不踩要强，所以只好去踩踏板。

范式博弈

GOO公司跟SAM公司有着利益方面的关系，它们二者的收益情况会因为博弈的改变而持续不停的相互更替，就如同下面所展示的图形这样：

有两个可选策略，分别是“合作”与“背叛”，这是双方各自拥有的，格当中存在四组数据，这些数据表示的是四个博弈结局的彼此收益，每组数据里，第一个数字指代的是 GOO 公司的收益，后一个数字代表的是 SAM 公司的收益。

此时此刻，我们是以站在GOO公司的视角，去对整个博弈策略展开思考。要是SAM作出合作的选择。那么的话，我方选择合作时候的收益为3，然而我方要是选择背叛的话收益则是5，这种情形下我方应当挑选背叛。假倘若SAM作出背叛的选择。那么此时，我方倘若选择合作收益为 -3，可要是我方选择背叛收益就是-1。此次情况下，我方依然应该去选择背叛。

同样的道理，SAM公司也会作出一样的抉择。最终我们发觉，此次博弈的双方都采用了背叛的策略，各自所获得的收益均为-1，这是一种相对糟糕的结果，虽说对任何一方来讲都并非是最为糟糕的那种情况。

但是，博弈的次数常常并非仅有一次，当两家公司历经好多回背叛策略的博弈以后，发觉公式里还存在一个有着（3，3）收益的双赢状况，这个结局明显是要好出许多的，所以，两家公司在后续的博弈进程当中必定会试着相互建立信任，进而促使双方都去选择合作策略。

但要是双方都清楚博弈的次数是有限的，说不定下一回博弈就是最终那一次，那么为了防止对方于最后一轮博弈里选择背叛从而让我方承受 -3 的损失，所以双方都采取了背叛策略，最后的博弈结果又返回至（-1，-1）。

于此可知，因次数产生改变，博弈的性质随之出现变化，纳什均衡点亦会产生变化。

饿狮博弈

设想存在A、B、C、D、E、F这六只各自强弱程度从左到右依次呈现递减排序状态的狮子，以及一只绵羊，假定A把绵羊吃掉之后就会进入打盹的状态，在这个时候比A稍微弱一些的B就会利用这个时机去吃掉A，紧接着B同样也会进入打盹的状态，随后比B稍微弱一点的C就会去吃掉B，按照这样的情况依次类推，请问：狮子A有没有胆量去吃绵羊？

存在这样一道题目，它必须运用逆向分析的方法来进行剖析，从那堪称最弱的F入手展开分析，然后按照顺序依次往前推导。假设E进入了睡着的状态，那么F必定会采取将E吃掉的举措，究其原因，是在了F的后面已然不存在其他的狮子了，所以完全不用担心自身会被吃掉的情况发生。接着继续往前推导，鉴于E清楚自己一旦睡着就会被F吃掉，所以E必然是不敢去吃处于睡着状态的D的。既然E不敢把D吃掉，那么D就能够毫无顾虑地去吃处于睡着状态的C。依照这样的方式依次前推类推，经过推导得出C不会去吃，B会去吃，A不会去吃。因此最终得出的答案是狮子A是不敢把绵羊吃掉的。

然而，要是我们于狮子F后面添加上一只狮子G以后，总数变为7只，接着运用逆向分析法依照上题步骤再次推导一回，如下所示图形。此次答案变为狮子A敢于吃掉绵羊。

依据两次博弈的对比情况观察，狮子A对于吃绵羊这件事的态度取决于狮子总数究竟是奇数还是偶数；假若总数呈现奇数情形，那么A会有吃的行为；要是总数呈现偶数情形，A就不会有吃的举动。所以说，总数是奇数以及总数是偶数的狮群博弈最终所展现的结果共同构成了两个稳定不变的纳什均衡点。

硬币正反博弈

要是你跟一位美女一同去玩一场数学游戏，美女提出这样的提议，让双方各自亮出硬币的一面，要是两人亮出的都是正面，那么她会给你三元，要是两人亮出的都是反面，她会给你一元，而剩下的那些情况，你得给她两元，那么面临这种情况，你究竟应不应该和这位美女去玩这个游戏呢？

这里需要讲一下纳什均衡的分类：

（1）所谓纯战略纳什均衡，即意味着玩家全部都能够去采取那种固定不变的策略，像是始终都往外展示正面，又或者是始终都往外展示反面，进而致使每一个人都能够获取到最多的收益，或者是遭受最少的亏损。

（2）在混合战略纳什均衡里，存在这样一种战略，它是通过对每个纯战略分配一个机率而得以形成的。混合战略具备这样的特性，即为玩家提供了随机选择一个纯战略此途径的可能性。在混合战略纳什均衡的情形之下，需要运用概率计算这一方式，当达到某一特定概率的时候，便能够达成支付最优这一结果。鉴于概率具有连续的特性，所以即便战略集合是有限的，然而也会存在无限多个混合战略。

在这个游戏中，应该采用混合策略纳什均衡。

设定我们这儿出现正面的概率为x，出现反面的概率是1-x，那位美女出现正面的概率是y，出现反面的概率为1-y。旨在达成利益最大化之目的，需得在对手出现正面或反面之际我们得到的收益皆等同，也就是：

3乘以x加上，负2乘以，1减去x，等于，负2乘以x加上，1乘以，1减去x。

解方程得x=3/8；同样，美女的收益：

减三y加上二乘一减y的结果，等于二y加上负一乘一减y的结果。

求得方程的解同样是y等于八分之三，于是，我们能够计算出美女每次的期望收益是：

(1减去y)乘以(2乘以x减去(1减去x))，加上y乘以(负3乘以x加上2乘以(1减去x))，等于八分之一元。

即便双方都选用最优策略的情形下，美女平均每一次赢八分之一元，所以肯定不能跟她玩这个游戏，实际上只要美女采取了（八分之三，八分之五）这个方案，不管你采用何种方案，都是无法改变局面的，然而当你也采用最佳策略时，起码能够保证自己输得最少，不然的话，你会赔掉更多。