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懂概率的三个层级
懂得概率的人，才是真正聪明的人。
世界，于世俗方面，于宇宙方面，皆是依概率而运行的，原因在于也。
至少，概率包裹着人类的无知的最外面那一层。
然而，这个世界上极少有人真的懂概率。
我把“懂概率”分为3个层级：
层级一：懂概率计算；
层级二：懂概率思考；
层级三：懂概率行动。
这三个层级未必是递进的关系。
a、你身为概率计算方面的高手，还会进行艰深的概率思索，然而不一定就是个概率行动方面的高手，即便如凯恩斯那般的天才，也是历经多年磨难，才最终跻身于“层级3”。
有些人，根本不会基本的概率计算，也不懂得什么是概率思维，然而却天生是概率行动高手，比如那些德州扑克高手，交易员鬼才等等。
或许这是源于他们儿时的生活环境乃是个天然的几率演练场，又或许这是源于大脑自身就是一部几率器械。
层级一
概率计算
如若想要去应对那世界之上所出现的不确定性，做到与随机性一同共舞，那么你必然得要懂得关于概率的计算。
那么，一个普通人到底要掌握多少概率公式，才够用呢？
我的答案是：零。
没错，你一个公式都不用记。
爱因斯坦说：
科学知识并非是那许多让人摸不着头脑的结论，它是这样一种结论，即每个人依照正确的思维方式，自己既有应当推导得出它的责任，同时也具备推导得出它的能力。
学习科学的过程，就是自己得出这个结论的过程。”
概率方面的公式，原本就是挺简单的，要是你可以把这些公式给分解开，然后自己从最开始去进行推导，那你往后就永远都用不着去记这些公式了。
对于那些对概率公式有所熟悉了解的人，我同样建议你一同来开展一次“从起始之处进行推导”，像这样你便会发觉，差不多能够解决所有的“难度已达硅谷面试题那个水准层级”的概率趣味性题目，绝对能够在“俗人所构成的圈子范围”中占据优势。
如何从头推导？
我想和你分享的是“平行宇宙法”。
用以举例来说，我们去投掷一枚符合标准的六面骰子，众人皆知，你获取到任意一个面朝上的可能性皆是六分之一。
然而，好多人就算知晓这个简易的道理，却也没办法凭借感官去领会。他会不由自主地思索：骰子落到地面上，必然100%呈现为某一个数字，那1/6究竟具备何种意义呢？
好似有一回我跟一位友人谈论特斯拉电动车的自燃率，我告知他，依据行驶里程来看，特斯拉官方所公布的自燃率相较于燃油车要低500%。
有个朋友讲，不论你特斯拉整体的自燃比例究竟能低到何种程度，当一旦出现自燃的情况时，对于每一位车主来讲，那可都是百分之百的事儿啊……电动车发生自燃这种状况或许属于小概率的事情，然而对于牵涉其中的车主而言，这却是彻头彻尾、完完全全的噩耗呐。
这就是聪明的概率无知者。
实际上，特斯拉的那种说法是存在着漏洞的，究其缘由在于，他们理应与车龄相同、级别一样的车辆去进行对比，如此这般才算是公平的。然而，这却是唯有更为聪明的人才能够提出来的问题了。
回到我们的“平行宇宙法”：
在你将一个骰子扔出的那一瞬间，此刻存在的宇宙分裂成了6个平行的宇宙，情况如下：
所以，即便在现实状况里，看上去骰子落地的时刻，仅仅会是某一个确定的面翻向上方，然而当你（不以作弊方式地）随意抛出骰子之际，骰子的未来便分化成了6个平行宇宙，它们分别是骰子落地之后呈现的6个结果，即：1，2，3，4，5，6。
但是，我们的现实，只能选择6个宇宙中的一个。
要是标准骰子六个面是一样的，那么就有6个宇宙把“未来的可能性”给平分了。
所以某一面出现的可能性，也就是概率，是1/6。
那么，扔一个骰子，得到偶数的概率是多少呢？
把2、4、6三个平行宇宙的三个1/6加起来，等于1/2。
明白概率计算的人，必然会对我这般啰嗦流露不屑，那就请坚持一下，接着再往下看。
“平行宇宙论”，又被称作多重宇宙论。或者，也被叫做多元宇宙论。它所指的是这样一种假说，这种假说在物理学里，尚未被证实。
存在于我们宇宙之外，极有可能还存有别的宇宙，这些宇宙乃是宇宙可能状态的一种反映，宇宙可能其基本物理常数与咱们所知晓的宇宙一样，又或许不一样。
多重宇宙这种说法，是美国的哲学家，同时也是心理学家的威廉·詹姆士，于1895年提出来的。
平行宇宙常被用来表明，一个事件有着不同的过程，且一个不一样的决定的后续发展，是存在于不同的平行宇宙之中的。
（以上来自维基百科）
在我个人看来，对于平行宇宙的那种理论，我并不是特别感兴趣，然而，我却认为，要是运用它去对概率进行描述的话，那会显得极为直观。
并且，这可以使我们于哲学以及“实在”的层面之上，对概率之中的“发生”与“未发生”予以理解。
比如，要是有一件事情，其发生的可能性为80%，然而最终这件事情却并未出现，好多人就会以此为依据去质疑概率所具有的意义。
依赖平行宇宙的理论，我们便能讲，除了去证实80%发生几率的 accuracy，能够觉得我们落入了20%“不出现”的平行宇宙，这没什么可稀奇的。
最近有位物理学家认为，我们处于上层宇宙的一个黑洞中。
颇具震撼力的一个新观点出现了：我们所认知了解到的宇，宙也许是源自于其他宇宙内部的“黑洞”而产生的，大爆炸实际就是一个黑洞将另一个宇宙“炸出”的进程。
我们对于那充满不确定性的未来，对于自己好似“命中注定”的命运，对于比电影还要精彩或者“还要悲催”的现实，不可避免地会存有一些疑惑，会生出一些感慨。
让我们回到现实世界的概率话题。
现在我们把问题变成扔两个骰子。
请问扔两个骰子，得到两个6的可能性是多大？
太简单了，1/6️1/6=1/36。
但是，为什么要这么计算呢？
我晓得你明白，那两个相互独立的事件A以及B，它们同时出现的可能性，等同于A出现的可能性与B出现的可能性相乘的结果，可咱俩之前讲好了是不使用公式的呀。
所以，让我们继续用平行宇宙的可视化计算法。
扔两个骰子，其实是它们的宇宙分裂了两次，如下图：
第一次：扔第一个骰子时，宇宙分裂成了六个（绿色）；
这是第二次，在扔第二个骰子的时候，每个呈现绿色的宇宙，又各自分别分裂成了六个，而这六个是蓝色的。
于是我们得到了36个平行宇宙。
此刻，咱们来寻觅一番，于36个平行宇宙当中，究竟存在多少个，是那种两个骰子皆是呈现为6的情形的呢。
答案仅有一个，其处于右下角，故而，获取两个6这种可能性是1/36。
用“平行宇宙法”，看起来复杂，但直观，而且可感知。
这正是爱因斯坦所说的：
每个人按照正确的思维方式自己应当并且也能够推导出的结论。
更关键的是，我们可以用这种零公式的方法，来解答更难的题目。
当下，《老喻的人生算法课》于“得到App”售卖，为推动销量增长，主编要求我在该App的社区“知识城邦”里参与陪聊。
我的回答是，大部分问题是关于人生以及工作方面的难题，我尝试着以一种尽量显得机智同时又带有诚意的方式去回答，（可是目前这种状态已经快要维持不下去了）。偶尔呢，还会出现数学题，就比如下面这一个：
这个问题看起来简单，我猜90%的人不会做。
会做的那10%，其中可能只有1%能说明白为什么这么做。
让我继续采用“平行宇宙法”清清楚楚地算一遍。
就这样，鉴于1能够是3，于是我们能够将问题简化了，单个骰子获取3的概率是2除以6等于1除以3。
在下图中：
用红球来标记1和3，出现的概率是1/3；
用黑球来标记其他可能，出现的概率是2/3；
扔三个球，作为独立事件，相当于爆炸了三次，如下图。
分裂了三次之后，一共产生了3️3️3=27种可能。
我们来检查一下，这27个平行宇宙中，有多少个是两个红色球？
如图所示，从右侧朝着左侧进行回溯而言，每条线上所具备的三个球，那便是该平行宇宙情形下的三球分布状态。
其中，画红钩的6个符合条件。
所以，答案是：6/27=2/9。
我们也可以用排列组合法来做：
1/3️2/3️1/3️3=6/27=2/9。
但我们说了，不用一个公式。
刚开始提问的人，其后面半截所提出的问题，进行摇骰子这个行为时，获取到三个3（这里面的1按照规定也能够当作是3）的可能性是1/27。
下面这道题，已经进入高手级别了，但是我们依然不用任何公式。
甚至能够用下面这道题使普通人产生迷惑感觉的地方，更好玩儿，可以在酒吧里跟人打赌。当然，并非是真的打赌。
帽子里有三张卡片。
有一张卡片，它的两面都是红色，也就是显现为“红 – 红” ，还有一张卡片，其两面都是白色，即为“白 – 白” ，另外有一张卡片，一面是红色一面是白色，呈现“红 – 白”状态。从这几张卡片里面随意抓出一张扔向空中 ，落地之后红色的那一面朝上。
问：这张卡片是“红-红”的概率是多少？
请你准备三张纸片，写成上面的样子，以便更直观地思考。
看上去蛮简单的，依据已有的信息来看，那张牌，要么是（“红 – 红”）的那一张，要么是（“红 – 白”）的，这两者出现的可能性可是相同的，所以，是“红 – 红”这种情况的概率是百分之五十，难道不是这样子的吗？
正确答案是：2/3。
《不确定世界的理性选择》一书中，对此给出了清晰直观的解答。
正确的问题表征是根据卡片的面，而不是整张卡。
样本空间涵盖所有结果，其中包含六个事件，这六个事件分别是，每张卡片的每一面各自成为一个事件。
因为红色的那一面呈现向上的状态，所以在“有效样本空间”里，存在着三个事件，分别是：红白且红面向上，红与红且其中一个红面向上，红与红且另外一个红面向上。
于是乎，正确的答案乃是 2/ 3，在三个具备相等概率的事件里头，其中拥有两个是呈现红 – 红这种情况的。
咱存在的那种错觉是，红 – 红这张牌每次仅仅能够出现一回，为何它的两面能被“拆”成两个彼此独立的事件呢？
咱们采用穷举法，依照呈“概率树”的形式，此形式即如我们上面所提及的“平行宇宙法”，并且再添加上书中的配图（如下所示），如此会更便于理解：
三张牌能够分裂成，（位于上图右侧的）6个平行宇宙，其中牌面为红色的有3个，在这3个里面，有2个是红 – 红牌。
你瞧，这一道题目表面上看起来特别容易，然而能够答对的人却是少之又少。并且还会存在有人看过答案之后依旧不服气的情况，最为妥善的办法便是制作三张牌，切实去玩上几把，要是不服气那就来真格的。
其实，“平行宇宙法”就是一种穷举法。
只不过，我把动态过程加进去了，因为有了时间，有了空间，还有“分裂”这个动作，所以我们能够让这个计算过程可视化，能够让它可感知。
这样以来，也就更可以在“为什么”的基础上思考。
作为一个极其伟大的词汇，“为什么”，在本系列文章的后两篇里，是主角之一。
追问“为什么”，也是概率计算的“第一性原理”。
一旦做到了这一点，你就是真正聪明的概率高手。
一个人能不能进行概率方面的计算，能不能展开概率相关的思考，这确实是用来评判一个人到底是不是真的聪明的一项硬性指标。
1968年的夏天，爱德华·O·索普遇见了沃伦·巴菲特，两人共进晚餐。索普是一位数学家，他曾经在赌场攻克了21点游戏，之后又在资本市场上大展身手，他还是量化金融的先驱。
两个头脑聪慧之人凑到一块儿势必得较量一番，巴菲特打定主意要考一考索普，题目是这样的。
存在着三个奇异的骰子，每一个骰子，其最多拥有的是2个或3个不一样的数字，运用这些特别的骰子，去玩一场1个赌博游戏：
你能够挑选这三个之中所谓“最佳”的那一个，然而我会拿走剩余两个里头所说“最优”的那个。我们一块儿进行投掷，数值较大的一方获取胜利。就算你挑选了那个你觉得“更具优势”的骰子，我始终都能够从平均统计数值方面战胜你。
对于一大群为数众多的人来讲，此处最为令人难以想象的地方在于，那个叫作“最好”的骰子是完全不曾存在的。
讲真，这个题目致使好多人犯难，缘由在于他们觉得理应遵循数学方面所说的传递规则，那就是要是A比B出色，B比C出色，那么A就比C出色。
索普答出了巴菲特的难题。
如果骰子呈现这样的情况：A的六个面所对应的数字分别是（3，3，3德信竞技，3，3，3），B的六个面所对应的数字分别是（6，5，2，2，2，2），C的六个面所对应的数字分别是（4，4，4，4，1，1）。
如此一来，经统计平均呈现出，A针对B所拥有的胜率为三分之二，B针对C具备九分之五的胜率，C针对A则存在三分之二的胜率。
所以，这是三个非传递的骰子，不论你最先选择哪一个，我行将找出一个于概率方面胜过你的。
那这是什么意思呀？我们接下来会运用那种基于“平行宇宙法”的穷举法，以此来证明索普的那个结论。只不过现在我没办法再画成那种简单的分叉图了。
以B对C为例，示意如下：
横向的红色，是B的六种可能。纵向的蓝色，是C的六种可能。
两者展开对决，36个格子意味着存在36种可能性，换而言之，将会出现36个平行宇宙。
这中间，有红胜二十次，是在打红钩的情形下；所以B的胜率是三十六分之二十，也就是变为九分之五。
瞧瞧，那属于全世界最为聪慧之人的难题呀，居然不需要借助一个公式呢，就能够明明白白地给解得妥妥当当的。
概率计算，普通人只要知道这么多，就够了吗？
几乎是。
但最好再加上另外一种，就更完整了。
我们先来一道传说中的谷歌面试题：
在一段高速公路上，假设30分钟内见到汽车经过发生了，其概率是0.95，那么，在这30分钟里，被均分为3个10分钟，在其中1个10分钟内见到汽车经过的概率是多少呢？（假设缺省概率固定）
解题思路如下：
对于30分钟的这个结果，能够将其当作三个10分钟的叠加，如同扔三个骰子那样，是可行的。
是这样的，2、30分钟之内能够见到汽车经过的概率为0.95，这里面存在两种情况，一种情况是经过一辆车，另一种情况下是经过几辆车。所以呀，我们就要换个角度来思量，也就是倒过来想，30分钟见不到任何车的概率是0.05。
3，三十分钟见不到任何一辆车，这意味着存在三个十分钟，且这三个十分钟全都连续见不到任何一辆车。我们假定每十分钟见不到车的概率为y。
所以，这三个时长均为10分钟的时段，同时出现见不到车这种情况的概率，即为y️y️y，其原理与上面标有序号“4”的那部分内容的思路是相同的。
因此在10分钟内见不到任何车辆的概率，是0.05的立方根。
在十分钟之内，能够见到一辆车的概率，是用一减去这个立方根，这是因为见到车与见不到任何车的可能性加起来是百分之百。
答案是大约63%。
类似思路的“用1减”，最有名的题目就是所谓的“生日悖论”：
要是处于一个房间之中，那么至少得有多少人，才能够使得“其中存在某两个人的生日是同一天”这种情况的概率大于百分之五十呢？
答案是23人。
这一数字，相较于直觉而言，低了许多许多。很早之前，我就热衷于拿此错觉与人打赌，多次获胜。
具体计算方法也不难，简述如下：
1、对于这个问题，实际上要进行反向思考，需要去计算连续存在多个人，其生日相互之间都不会出现重合态势的概率。
２、我们做出这样的假设，人们会依照顺序逐个进入房间。第一个人随意占据了三百六十五天当中的一天，其概率为三百六十五分之三百六十五。
第二个人，只有占据，剩下的364天里的一天，才能够不和第一个人重合，其概率是364除以365。
按照这样依次类推下去，对于第三个人而言，只有占据剩下的三百六十三天当中的仅仅一天，才能够做到不和前面的两个人出现重合的情况，其概率是三百六十三除以三百六十五。
……
前五个人生日完全不重合的概率是：
一乘以三百六十五分之三百六十四，乘以三百六十五分之三百六十三，乘以三百六十五分之三百六十二，乘以三百六十五分之三百六十一，等于百分之九十七点三。
也就是说，看起来似乎不重合的可能性很大。
但是随着人数的增多，不重合的可能性加速降低。
这有点儿像另外一种形式上的“复利效应”。
当人数达到23的时候，不重合的概率已经低于50%了。
在房间之中存在五十人的情形下，至少会有两个人生日出现重合这种状况的概率，已然高达将近百分之九十七了。
相似的算法，能够被用以在饭桌上进行打赌，存在着至少两个人属于同一个星座。
请问，饭桌上有几个人的时候，你愿意和别人打这个赌？
即使我宣称了“零公式”，你能坚持看到这里，也很不容易。
但绝对是值得的。
依据科学家所讲，人类的大脑，或许从一出生，便是一个知晓贝叶斯概率算法的机器。
但只是一个隐形的机器。
实际上，人类知晓怎样计算概率的时间很晚，因而人类大脑颇为难以对概率计算构建起直觉判断。
随着计算机、大数据、人工智能加速发展，随着金融市场进程推进，随着全球化经济进程推进，概率成了现代人必备的“底层算法”。
