静态完整信息博弈里的纳什均衡（CAS EC 403）

博弈论（Game Theory）

一.

这一篇只是我在今年学习博弈论时所做的一些笔记，以及编程代码，按照费曼学习法，将笔记以知识的形式输出，会更有利于理解，我会把所有数学公式进行简化，并且用语言作出解释，要是文中存在任何纰漏，欢迎指出来，文中出现的一些专有名词，我会尽可能去寻找官方的中文翻译，要是没有的话，我会自己进行翻译，并且指出来。

二. 博弈的条件

下面这种情况被称作博弈，也就是在特定规则之下，存在着完全理性的对象，这些对象会去选择并实施策略，待此流程结束后，能获取相应的收益。通常来讲，博弈所涉及的对象都得是完全理性的，这意味着对象们依据已有的信息，始终会挑选出对自身收益最为高的策略。非合作博弈有着这样的默认前提，那便是所有参与者都是绝对自私的，他们除了自身的收益之外，其他任何方面都不会纳入考虑范围。

我们能够凭借两个特征给博弈分类，第一个特征是，博弈对象是不是进行超限一次的策略选择，仅开展一次的博弈被称作静态博弈，即static game，开展多轮的称作动态博弈，也就是dynamic game。举例来说，石头剪刀布的两个博弈对象都只做一回策略选择，然而象棋的双方会有超多回选择，所以石头剪刀布属于静态博弈，象棋属于动态博弈。

第二个特征为对象能够得到的信息，要是博弈对象具备博弈的完整信息，这里涵盖对手有可能采用的策略以及收益，在这种情形下，所有博弈对象所拥有的信息都是完全对等的，像象棋和围棋属于完整信息博弈，两个对象得到的所有信息均全然相同，并且不存在任何随机性，不完整信息的典型例子是扑克牌，像德州扑克、斗地主乃至麻将都是不完整信息博弈，博弈对象的手牌对手无法看见。从通俗的角度去理解，在进行策略选择时，对于完整信息博弈，就像象棋、围棋这类，是无法采用虚张声势这种策略的，也就是不能进行 bluff，原因在于所有的信息对手都是清楚了解的。然而扑克却不一样，玩家能够借助信息差去误导对手。

三. 动态完整信息博弈与最优解

动态完整信息博弈有时有最优解。接下来是一个例子：

玩家A与玩家B轮流着，从1至9里、去选取一个整数，每一回选取一个数字后，就跟之前已经选取的所有数字，进行相加操作，如此重复这个过程，一直到所有数字的总和等于或者超过一百的时候，最后一个选数字的那个玩家，会被判定为负。

例如，A挑选3，B挑选5，二者所挑选的数字加起来的结果是8，紧接着，A挑选6，此时所挑选数字的总和是14，随后B挑选1，所选数字相加的和为15，接着，最后所选数字的总和是98，B挑选了3，所选数字的总和变为101，此结果超越了100，而B正是最后选择数字的那名玩家，所以A获胜，B失败。目睹如此情形的朋友不妨尝试一下能否得出一种最佳策略，要是你先进行选择你会采用怎样的策略呢？要是后进行选择又会采用怎样的策略呢？

在这个博弈里头，我们能够留意到，要是有一个玩家使得数字之和抵达了99，那么不管对手怎样去选择，最终数字和必定会等于或者超过100。如此一来，这个博弈就被简化成了哪个玩家能够率先让数字和抵达99。接下来，倘若有一个玩家能够让数字和抵达89，那么不管对手怎样做选择，他或者她都能够把数字和加到99，因为对手所能获取的数字和处于90到98之间。这样的话，这个博弈就被简化成了哪个玩家能够先让数字和抵达89。类似的情况是德信竞技，要是能够领先达到79，又或者是69，一直到最后抵达9。这样一来，这一场博弈最终就被简化成了到底是哪一位玩家能够最先抵达9，在此之后，不管对手怎么去做出选择，这个人通通仅是需要把数字加起来一直到下一个个位数字是9的数就能够获取胜势。如此这般以谈，对于具备理性的对象来讲，这场博弈当中处于先手位置的一方必定会胜利，这是由于这个人能够直接去挑选9。

有一种被称作逆向归纳（backward induction）的分析方式，我们能够借由逆向归纳去解决某些完整信息的博弈，像象棋，理论上是能够被全然破解的，这是由于象棋存在着有限种可能性，经过足够数量的计算，便能够破解整个博弈，然而人脑基本上是不可能开展如此大量的计算的，计算机却能够做到。

四. 静态完整信息博弈与收益矩阵

前文说到的是动态博弈，借助逆向归纳我们能够运用逻辑去处理部分问题，然而在静态博弈里，逆向归纳就没作用了，实际上，能靠逆向归纳解决的问题极度有限，和动态博弈不一样，静态博弈只开展一回，就像石头剪刀布那样，在静态博弈中我们要归纳所有对象的收益以此找出对自身最有利的策略，为了归纳这些收益，通常会构建收益矩阵（payoff matrix），接下来是一个尤为常见的例子，石头剪刀布：

石头剪刀布的收益矩阵

我们先将所有可能策略，也就是两位对象的（石头，剪刀，布）逐一列出，接着模拟出所有可能出现的情形。对于石头剪刀布而言，赢的一方能得到1收益，平局则是0收益，负方会有 -1收益。如此这般，把全部可能性以及会获得的收益都列出来，便得到了收益矩阵。用数学语言来讲。

1. 存在集合A，其代表玩家A所有能够采取的策略，还存在集合B，其代表玩家B所有能够采取的策略，处于石头剪刀布这种情形之下。

A=,   B=.

2. 存在集合u，它代表着A与B博弈时所有有可能发生的状况，这些状况被称作行动简略，也就是action profile。

u等于A乘以B,它是A集合与B集合的直积，也就是笛卡尔积。

在这里，存在着这样的情况，u等于，先是两个括号，括号里分别是石头A与石头B，接着是石头A与剪刀B，然后是依次直至布A与布B，这样的组合一共有9种可能的情形。

3. 有 对于A 的 收益方程

若A赢，比如（石头A, 剪刀B）这种情况时，P（A,B）= 1。

0 如果平局   比如  （石头A，石头B）

-1 如果A输   比如     （石头A，布B）

同样的，有对于B的收益方程 Q （A，B）。

组合行动简略u，对应的收益方程P，Q就能得到收益矩阵M。

举个例子，就像在上面所呈现的收益矩阵里，石头A与石头B相对应的左上角位置的（0，0），这意味着A所获取的收益是0，B得到的收益同样为0。剪刀A和石头B相对应的是第一列第二行的（-1，1），其中A的收益是-1，B的收益是1 ，用通俗的话语来讲就是，A出的是剪刀，B出的是石头，结果是A输了，B赢了。

在静态博弈情形下，为了寻觅到最优解，我们是必须要去考量对手的策略的。然而，当我们处于进行石头剪刀布这个行为的时候，我们是并不清楚对手将会出什么的，在这种时候，我们是要针对对手的策略展开猜测的。

从一个较为简易的逻辑来讲，要是存在一种策略a，不管对手所出的是什么，它都具备比策略b更高的收益，那么不管怎样，我们都不会去选择策略b。处于这种情形下，我们将a称作完全支配策略（strict dominance）；要是存在一种策略c，不管对手采取何种行动，其收益都至少和策略b相同，并且至少存在一种状况，c的收益比b高，那么我们选择c，起码能获得与b相同的收益，而且有时收益会更高，我们也就更倾向于选用策略c，我们把c称为弱支配策略（weak dominance）。同样地，假定对手同样是理性对象，他们也会倾向于去选择支配策略。在石头剪刀布这个游戏里，支配策略是不存在的，因而这是一个不存在最优解的博弈。紧接着我们来瞧一瞧博弈论当中最经典的例子当中的一个，也就是囚徒困境。

五. 囚徒困境

甲、乙这两个罪犯，前往银行实施抢劫行为，在抢劫当日成功实现逃脱，然而没过几天，他们就被警察抓捕归案，可是由于他们在银行抢劫那天戴着丝袜，致使法院并不具备确凿无疑的铁证来证实他们实施了抢劫银行的行为，仅清楚他们在被抓当天存在伤人的情况，所以要是他们两人都拒不认罪，法院最多依据打伤人的罪名从轻作出判决，但若他们选择认罪，那么就会以抢劫罪被判处重罪，就在这个当口，一位非常聪慧的检察官想出了一个让他们进行指认的办法。他告知了两个罪犯，存在一种情况，若你们两个皆不认罪，那你们的判刑结果都会是一年；还有另一种情形，假如你们都选择认罪，并且是这种情况，那么你们都会被判处8年。另外，如果甲选择认罪，而乙不认罪，那么会出现这样的结果，甲会当场被释放，但乙会被判处10年刑罚；要是乙认罪，甲不认罪，那么会是乙当场被释放，甲会被判10年。

假定被判一年时的收益为负一，基于这种情形，我们能够得出这般的收益矩阵，在每个方格之中，甲的收益是位于左边的数字，乙的收益是处于右边的数字。

剖析这类问题之际，最先思索对手全部潜在的策略。就甲而言，乙存在两种情形：一是认罪，二是不认罪。

乙认罪：

甲认罪，判8年，甲不认罪，判10年，他会选择认罪

乙不认罪：

甲认罪，判0年，甲不认罪，判1年，他还是会选择认罪。

无论乙怎么选，认罪对于甲来说总是最优解。

同样的，对乙而言，不管甲做出怎样的选择，认罪都是最佳的解决办法，所以最终作为理性对象的他们都会选择认罪，这恰恰就是检察官所期望达成的那种结果。从博弈论的角度而言的话，认罪对于甲以及乙来讲都是具备完全支配性质的策略，不管对手做出何种选择，认罪所带来的收益始终要比不认罪更大，所以他们必然会选择认罪。两个人都选择认罪的那种情形（-8，-8）被称作支配策略均衡点，它属于纳什均衡点当中的一种，其条件相较于纳什均衡更为严苛。

六. 最佳回应与纳什均衡

纳什均衡具备双条件，一为逻辑，二是正确的猜测。于静态博弈之中，我们并不清楚对手会施行的策略。因而在作出判断之前，我们得先对对手的策略予以猜测，之后依据猜测挑选出最佳的对应策略。依据对手策略A挑选出的最佳策略B称作对A的最佳回应。留意，优良回应能够不止一个，就像在应对A的情形下，B、C、D都会带来相同且最大的收益，所以这些策略全都是针对A的优良回应。当所有对象各自考量完所有可能的策略并挑选出相应的优良回应时，要是一种情形是所有对象的优良回应，那么这种情形就被称作纳什均衡（Nash Equilibrium）。紧接着有一些例子：

囚徒困境

囚徒困境

运用纳什均衡展开分析，我们首先择取甲的立场予以考量，我们将所有属于甲的最佳回应涂抹成红色。

乙认罪：

我们去看左半部分，那儿有着这样的情况，甲要是认罪呢，会被判处8年，而要是甲不认罪，就会被判处10年。甲认罪这种情况是针对乙认罪而言的最佳回应，然后我们把左上左边的那个 -8涂上红色。

乙不认罪：

对于右半部分，我们进行查看，甲若认罪，会判处 0 年，若甲不认罪，则会判处 1 年。甲认罪这一情况，是针对乙不认罪而言的最佳回应，我们要把右上左边的那个 0 涂成红色。

紧接着，我们以乙的角度去看待，我们将乙的全部最佳回应涂成黄色。

甲认罪

咱们去看那上半部分，乙承认有罪，被判处8年，乙不承认有罪，被判处10年。乙承认有罪是针对甲承认有罪的最佳回应，我们把左上方右边标识着-8的部分涂成黄色。

甲不认罪

我们来瞧一瞧下半部分，那个乙认了罪，结果被判处0年，要是乙不认罪呢，那就会判1年。乙认罪这种情况，是针对甲不认罪而言的最佳回应方式，我们把左下方右边的那个0涂成黄色。

这般，我们已然剖析完甲乙的全部策略了，这样看来，左上角双方皆认罪的情形分别是甲乙的最优回应，我们能够讲这种情形是纳什均衡。

接下来我们再来看一个例子：

2021年，有联邦大道，撰写本文之际，拍摄于BU Maciano Common，其对面是波士顿红袜队主场Fenway Park。

设想一下，你于1890年驾车行驶在波士顿的联邦大道上，那时汽车才刚被发明出来，道路之上不存在任何路标，也没有标识线。所有的汽车都是随意行驶的状态，并不存在如今车辆靠道路右边行驶的规定。在这个时候，你并不清楚与你迎面驶来的车辆是靠左行驶还是靠右行驶，同样的道理，对方也不清楚你是靠在哪一边行驶的。

图像解释

在这样的情形状况之下，将会有什么样的事情出现发生呢？首先，你们必定肯定都不会想要去撞坏新购买买到的车辆车子，所以你们全都通通都想着要去避开对方彼此。在这个时候时刻，我们能够可以运用使用以下的收益矩阵来进行描述表述（没有撞车的收益是1，撞了车的收益是-5）：

收益矩阵

同样地，我们以甲的视角来分析：（将最佳回应涂红）

乙走左边：

甲选择走左边的时候，其收益是1，甲选择走右边的时候，其收益是 -5，甲走左边这种情况是当乙走左边时甲的最佳回应，我们把左上角左边位置那里的1涂成红色。

乙走右边：

甲要是走左边，其收益是为负五，若甲走右边，收益则为一，甲走右边是乙走右边时的最佳回应，我们把右下角左边的那个一涂染上红色。

再以乙的视角分析：（最佳回应涂黄）

甲走左边：

乙要是走左边，那收益就是1，乙倘若走右边，收益则为 -5，乙走左边是甲走左边时的最佳回应，我们把左上角右边的1涂成黄色。

甲走右边：

乙朝着左边行进，所获收益是负五，乙朝着右边迈进，所获收益为一，乙选择走右边乃是甲走右边时的最佳应对方式，我们把右下角右边的那个一涂成黄色。

这样我们有了两个纳什均衡点，分别是左，左以及右，右。

约翰·福布斯·纳什，诺贝尔经济学奖得主，纳什均衡以他命名

七. 纳什均衡的意义

有一个概念解叫做纳什均衡，它代表着这样一种情况，即不存在任何参与者能够通过改变自身持有的策略，从而让自身获取到更多受益。就拿上面开车的那个例子来说，纳什均衡点所代表的含义是，要是有100个人选择开车出行，那么在经过一段时长之后，不需要外部进行介入，这一百个人就会出现两种情况，要么这一百个人全部都在路的左边开车，要么这一百个人全部都在路的右边开车。也就是说，只要展开足够多的次数，最终这场博弈就会向纳什均衡的方向发展。这样的一种结果看起来好像有点让人难以理解。然而，其中所蕴含的逻辑实际上是十分简单的。

首先，会选择改变策略的是所有理性的撞车对象，因为他们不想下次再撞车。我们进行假设，100个人中，每个人在第一天，有50%的概率靠左开，同时有50%的概率靠右开。

我们直接看看结果。我写了一段python代码模拟这种情况：

右边是测试结果

代码里头，n用来表示总人数，它代表着整体的数量规模，L表示向左开的人数，R表示向右开的人数，它们各自有着特定的指向意义。我借助于修改random.seed这种方式，其目的是为了能够获取不同的随机数字，通过这种操作来达成随机数的获取。k代表重复的次数，它体现了重复操作的频次，a是每次循环里的临时左，它是在循环进程中有着临时指向意义的数值，b是临时右，同样是在循环里有着特定临时指向的数值。最终输出的是（向左开的人数 向右开的人数），这是整个程序运行得出的结果呈现形式。当k足够大，也就是代表重复的次数足够多，一般情况下是大于500时，如此一来最终结果要么是100，0 ，要么是0，100，表明最终结果要么所有人靠左开，要么所有人靠右开，呈现出这两种极端的最终状态。欢迎复制代码自己修改seed和任何参数来模拟不同的情况。

那里面所蕴含的逻辑道理是这样的：当处于第一天开始上路这个情况时，在这100个人当中，每一个人都存在着50%的可能性是靠左边行驶又或是靠右边行驶，然而这可并不意味着绝对就恰好是50个人会选择靠左边而行或者是靠右边而行。这就好比是每一次去抛硬币的时候，都有着50%的概率硬币的面是朝上或者朝下，要是抛2次硬币的话，这可不代表肯定就恰好是1次朝上以及1次朝下，就算抛100次硬币也不能够说绝对就会有50次朝上以及50次朝下。存在着这样一种可能性，那就是在2次抛硬币的时候，第1次朝上随后第2次朝下，或者第1次朝下而第2次朝上，又或者是其他的组合情况。同样的道理，在第一天时，也存在着这样的可能性，那就是有49个人选择靠左边行驶，而另外51个人选择靠右边行驶，又或者是其他不同的人数分布情况。

被靠左的人碰到的靠右的那部分人会撞，被靠右的人碰到的靠左的那部分人会撞。假定第一天，有四十九个人是靠左的状态，有五十一个人是靠右的状态。那么在第一天结束之际，所有经历撞车的人都会改变其原本的策略，到了第二天，在这一百个人中间：

位于左边的概率等于第一天处于左边且没有发生撞车情况的概率加上处于右边出现撞车状况的概率，等于（（处于左边的人数乘以处于左边的概率）加上（处于右边的人数乘以处于左边的概率））除以100，等于（49乘以0.49加上51乘以0.49）除以100，结果是0.49，那么处于右边的概率便是0.51。要留意，此处的数字是概率，并非人数，在此已不是第一天的50%了。要是这样，在历经许多天之后，这里面的差值会与50%的差距越来越大，最终趋向于纳什均衡。随便举个不是特别合适的例子，每当随机数并非50，不是50这个数值的时候，那就等同于在稳定的50%的系统里出现熵增，系统会逐渐变得越发混乱，差值会变得越来越大，一直到最终抵达两个极端。其中所涉及的数学原理，我会在往后的专栏当中去描述，并且进行证明。

结尾.

要是真有谁把这篇文章给读完了，那可真是万分感谢了，要是存在问题的话，不管是通过私信的方式，还是借助留言的途径，都欢迎提出来，只要有问题，就尽管毫无保留地说出来，我会在最快的时间进行回复，多谢啦！